通常，给定工况下最佳水泵叶轮的设计和选择是比较困难的，意大利Industrie Saleri Italo公司的水泵专家Massimo Antonini在本文描述了一种数学建模方法，使叶轮的设计和选择实现了自动化。 {TodayHot}
        
        叶轮是水泵的核心部件，是工作效率的主要影响素。在特定工况下，如果叶轮设计不好就会在泵入口和叶片处产生水力损失和间隙损失。
        
        许多一维模型都可以对这类损失进行估算；最著名的模型包括Pfleiderer et al.1、Japikse et al.2, 3、Tuzson4, 5、 Stepanoff 6和 Neumann7。还有许多研究8-12或多或少地在上述模型的基础上提出了一些水泵设计的程序。 {HotTag}
        
        这些模型的主要局限在于它们的模拟性：优化过程不能从这些模型着手进行。计算流体力学（CFD：computational fluid dynamics）模拟技术解决了这一难题。这一技术可通过Navier Stokes偏微分方程算法对流量分布进行计算。优化过程仍是一个关键程序，很难使其自动化。设计者通常先要进行尝试和测试，然后根据结果修正几何尺寸以改进流量分布，并重复试验。这一迭代过程反复进行，直到设计者认为第i步的结果是理想的（与设计者自身经验有关）。
         
图1：数据点分布格栅图

        有些研究13还建议，每一个几何参数的作用分析应建立在多变量分析（主成分分析）的基础上。作者使用不同的几何参数重复进行计算流体力学模拟（CFD），并研究了每一个因素的影响。这些研究使设计者只需分析少量的几何参数，减小了手动优化过程的规模，从而缩短了优化时间（迭代次数）。
        
        最近几年，该程序有了很大改进，这要归功于多目标优化软件的开发。该软件使用了遗传算法和爬山法、并行结构和帕累托（Pareto）边界等理论，使一般的CFD软件（一般是设计工具）可以自动运行。优化者利用CFD软件，可以逐步改进叶轮的几何尺寸直到获得最优化的几何结构14, 15。
        
        近些年，基于不同理念的一些新优化方法得以开发； Zangeneh16-18是其中的典型代表。这一方法与以前不同，或者更确切地说是“逆向的”：先指定叶片载荷，然后使用3D逆向设计法计算出相应的叶片几何尺寸。优化者可以修改决定叶片载荷的一些参数，因此优化过程比以前更容易。
        
        手动和自动优化过程都存在很多困难。观察结果表明，记录优化过程中出现的新知识是必要的。对水泵设计者来说，如果优化过程是一项日常工作，这一问题就尤为重要。大部分设计优良的叶轮可以重新使用。因此问题是：如何在使用过程中进行优化设计呢？
        
        主要方法是利用水泵的实验曲线。这些曲线代表了特定转速下压力-流速之间的关系（如图2b）。这组曲线在压力-流速-转速组成的三维空间中是一个曲面。该曲面必须与客户所要求的特定流速、压头和转速相比较。
         
 

        曲面的数学拟合
        
        如果我们想使选择过程自动化，就有必要使用数学模型对曲面进行拟合。这组流速-转速-压力点需用函数p = f（Q, n）来建模。
        
        对曲面分布数据点进行拟合的数学方法有很多种；神经网络19，nurbs（非均匀有理B样条）和B样条拟合法20只是其中的一部分。我们选择了最近提到的一种方法的修正版，因为曲面易于复制，且演算非常快。
        
        该方法以Lee et al.21提出的多级B样条拟合（MBA）算法为基础；利用其控制网格Φ（见图1）定义的均匀B样条三次函数对曲面进行拟合。详细数学过程见方框1。
        
        该演算法的第二个特性是多级性。给定网格，就可以对拟合函数进行计算。拟合函数在指定点xc, yc（流速和转速）会返回一个误差。然后我们使用第二个更精密的网格（第二级），它可以对前面的误差、以及期望输出值与前面定义的函数得到的估算值之间的差值进行拟合。函数模型由两次拟合值建成。随着拟合级数的增加，边际误差减少，不过同样拟合函数的复杂性也增加了。
        
        上述方法的软件执行结果如图2所示。
        
        必须强调的是，通过改变起始网格的尺寸（m x n）和级数，我们得到了不同的结果。图3特别显示了平均方差随级数的变化过程和由该演算法所获得的最终曲线。
        
        该算法效率特别高，因为它可以很快输出期望的结果：使用大约40个分布点，m=n=3的网格和六级演算，不到1秒钟就可以对曲面进行完全地模拟。该方法的第二个优点是拟合误差非常低。如指定点的平均误差，以压力为例，低于10-5 bar。
        
        选择过程
        
        曲面建模完成后，选择最合适的水泵就非常容易了。用户给出所需的工况点；特别是流速和转速值是使用多级B样条拟合（MBA）算法对泵进行第i步数学建模的输入值。输出值（压力）由数学函数计算并同期望压力值作比较；如果两者之间的差值在泵的特定界限之内，泵就被选定。如果情况相反，选择过程就需改进：对指定转速和流速的邻近值进行检验，软件自动判别压力是否处于某个指定范围之内。选择过程最终会以列表的方式对可能适用的水泵叶轮给出一个明确的结果（见图4）。
        
        结论：水泵叶轮设计过程中的困难决定了需要重新利用过去那些项目中所获得的知识。也就是说，有必要使用以前所设计的叶轮的性能曲线，选择新泵也需从这些叶轮的曲面着手；因此有必要进行数学建模以使选择标准自动化。选择过程完成后，设计者既可以选择所推荐的叶轮（工作到此完成），也可以对选择软件所推荐的叶轮几何尺寸进行手动或自动地修改和优化。优化过程会很快，因为起始的几何尺寸已非常接近期望值，所以只需几步迭代即可完成 .